MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÃNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS [9.81]

O ESTADO QUÂNTICO DIMENSSIONAL CATEGORIAL DE CAMPOS [OU NÃO] GRACELI EM TRANSFORMÇÃO É DETERMINADO COM VARIAÇÕES DE ENERGIAS E ESTADOS FÍSICOS DENTRO DO SISTEMA DIMENSIONALDE GRACELI EM VARIAÇÕES DO HAMILTONIANO [ ${\hat {H}}$ E INTERAÇÕES DE CAMPOS REPRESENTADO PELO ÍNDICE DE DIRAC [ $\psi ^{*}$

$EQDCCT GRACELI =$ / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM :CE DE GRACELI .

A molécula tem massa m e velocidade v.

Como as colisões entre a molécula e a parede são elásticas, quando as moléculas chocam-se com a parede perpendicular ao eixo de coordenadas x (da caixa cúbica), a componente x da velocidade inverte seu sentido sem alterar seu módulo, enquanto as outras componentes permanecem inalteradas. Isto significa que a única mudança no momento linear da partícula é na direção x, e seu valor é

$(-mv_{x})-(mv_{x})=-2mv_{x}$

Logo, o momento linear $\Delta p$ transmitido à parede pela molécula durante a colisão é (+2mv_x).

O tempo $\Delta t$ entre as colisões é o tempo que a molécula leva para ir até a parede oposta e voltar (distância = 2L) com velocidade v_x. Logo, a partícula choca-se com um lado específico da parede uma vez em cada

$\Delta t={\frac {2L}{v_{x}}}$

(Nota-se que este resultado é válido mesmo que a molécula se choque com qualquer das outras paredes durante o caminho, pois estas são paralelas ao eixo do x e, assim, não podem mudar v_x.)

Deste modo, a taxa com que o momento é transmitido à parede sombreada por esta única molécula é

${{\Delta p} \over {\Delta t}}={{2mv_{x}} \over {2L/v_{x}}}={{mv_{x}^{2}} \over L}$

Da segunda lei de Newton (F = dp/dt) a taxa com que o momento é transmitido à parede é a força atuando sobre esta. Para encontrar esta força, deve-se somar as contribuições de todas as outras moléculas que atingem a parede, levando em conta a possibilidade de que todas tenham velocidades diferentes. Dividindo a força total pela área da parede L², tem-se a pressão p sobre ela.

$p={F \over {L^{2}}}={{mv_{x1}^{2} \over L}+{mv_{x2}^{2} \over L}+...+{mv_{xN}^{2} \over L} \over L^{2}}=({m \over L^{3}})(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+...+v_{xN}^{2})$

Onde N é o número de moléculas na caixa.

Como N = nN_A, onde N_A é o número de Avogadro, há nN_A termos no segundo parênteses da equação acima. Assim podemos substituir esta quantidade por $nN_{A}{\overline {v_{x}^{2}}}$ , onde ${\overline {v_{x}^{2}}}$ é o valor médio do quadrado da componente x de todas as velocidades moleculares. A equações pode ser reescrita então

$p={nmN_{A} \over {L^{3}}}{\overline {v_{x}^{2}}}$

Mas mN_A é a massa molar M do gás. Além disso, L³ é o volume da caixa, logo,

$p={nM{\overline {v_{x}^{2}}} \over {L^{3}}}$

Para qualquer molécula, v² = v_x² + v_y² + v_z². Como há muitas e como se movem em direções aleatórias, os valores médios dos quadrados das componentes de suas velocidades são iguais, logo, $v_{x}^{2}={1 \over 3}v^{2}$ , / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

$assim$

$p={nM{\overline {v^{2}}} \over 3{L^{3}}}$

A raiz quadrada de ${\overline {v^{2}}}$ é uma espécie de velocidade média, chamada de velocidade média quadrática das moléculas, v_rms.

$p={nM{v_{rms}^{2}} \over 3{L^{3}}}$

A equação acima ilustra bem o espírito da teoria cinética. Ela mostra que a pressão de um gás p (uma quantidade puramente macroscópica) depende da velocidade das moléculas (uma quantidade puramente microscópica). Podemos relacionar a equação mostrada com a equação do gás ideal (pV = nRT) (sendo R a constante dos gases).

$v_{rms}^{2}={{3}{R}{T} \over {M}}$

Energia cinética de translação^[3][editar | editar código-fonte]

Considera-se uma molécula em movimento dentro de uma caixa cúbica, sua velocidade muda (em módulo) quando colide com outras moléculas. A energia cinética de translação da molécula em qualquer instante é ${1 \over 2}m{v^{2}}$ . A energia cinética de translação média, onde tomamos a média sobre o tempo em que observamos a molécula, é

${\overline {K}}={\overline {{1 \over 2}m{v^{2}}}}={1 \over 2}m{\overline {v^{2}}}$

Onde é feita a suposição de que a velocidade média da molécula é a mesma que a velocidade média de todas as moléculas em qualquer instante. (Esta suposição é apropriada desde que a energia total do gás permaneça constante e que a molécula seja observada por um tempo suficientemente longo.)

Dado que ${\overline {v^{2}}}={{3}{R}{T} \over {M}}$ / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

${\overline {K}}=({1 \over 2}m){{3}{R}{T} \over {M}}$

Mas $M \over m$ , a massa molar dividida pela massa de uma molécula, é o número de Avogadro N_A, assim

${\overline {K}}={{3}{R}{T} \over {2}{N_{A}}}$

Que pode ser reescrito como

${\overline {K}}={3 \over 2}{k}{T}$

A constante k, chamada de constante de Boltzmann, é a razão entre a dos gases perfeitos R e o número de Avogadro N_A.

Seu valor é

$k={R \over N_{A}}={{8,31J/mol.K} \over {6,02X10^{23}mol^{-1}}}=1,38X10^{-23}J/K=8,62X10^{-5}eV/K$

Imagine uma caixa cúbica de lado $�$ contendo $�$ moléculas de um gás dentro dela. Considere o gás como ideal (não há interações moleculares) e, num primeiro momento, analise apenas uma molécula desse gás, onde $�$ e ${\vec {v}}$ são respectivamente a massa e a velocidade da molécula. Essa molécula realiza apenas colisões elásticas com as paredes (a energia do sistema é conservada e a cada colisão apenas uma componente da velocidade é alterada). Nesse caso, a cada colisão, teremos uma variação de momento dado por:

\Delta \,{\vec {p}}_{x}=-2m{\vec {v}}_{x}\,\!

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

A molécula então, choca-se várias vezes com uma certa parede, sendo que $\Delta \,t$ é o intervalo de tempo para que a molécula consiga se deslocar até a parede oposta e voltar para a parede em questão, ou seja, percorrer uma distância de $2L$ . Nesse caso, o intervalo de tempo é igual a distância percorrida dividida pela velocidade.

{\frac {\Delta \,{\vec {p}}_{x}}{\Delta t}}={\frac {2m{\vec {v}}_{x}}{\frac {2L}{{\vec {v}}_{x}}}}={\frac {m({\vec {v}}_{x})^{2}}{L}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Da segunda lei de Newton, sabemos que a força é a derivada do momento em relação ao tempo. Nesse caso, a força que é transferida para a parede é igual a soma da contribuição do momento de cada molécula, levando em conta a que elas podem ter velocidades diferentes. Sabemos que a pressão $�$ é igual a força ${\vec {F}}$ dividida pela área da parede $L^{2}$ . Assim usando a equação anterior, temos que o somatório das $�$ moléculas será:

P={\frac {{\vec {F}}_{x}}{L^{2}}}={\frac {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}{L^{2}}}={\frac {{\frac {m({\vec {v}}_{x1})^{2}}{L}}+{\frac {m({\vec {v}}_{x2})^{2}}{L}}+\cdots +{\frac {m({\vec {v}}_{xN})^{2}}{L}}}{L^{2}}}={\frac {m}{L^{3}}}\sum _{i=1}^{N}({\vec {v}}_{xi)^{2}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Sendo ${N}_{a}$ a constante de Avogadro, podemos fazer a substituição $N=n{N}_{a}$ . O somatório então pode ser visto como $n{N}_{a}{\vec {v^{2}}}_{xmed}$ , onde ${\vec {v^{2}}}_{xmed}$ é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas:

P={\frac {nm{N}_{a}}{L^{3}}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Além disso, $m{N}_{a}$ é igual a massa molar $�$ do gás e $L^{3}$ é igual ao volume do gás.

P={\frac {nM}{V}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Podemos pensar agora, que para qualquer molécula ${\vec {v^{2}}}={v^{2}}_{x}+{v^{2}}_{y}+{v^{2}}_{z}$ . Isso é válido pois como possuimos muitas moléculas e elas se movem em direções aleatórias os valores médios dos quadrados das componentes da velocidade são iguais, de modo que : ${\vec {v}}_{x}={\frac {1}{3}}{\vec {v}}$ e então:

P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{med}}{3V}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Substituímos então ${\vec {v^{2}}}_{med}$ pela velocidade quadrática média, definida como ${\vec {v}}_{rms}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}$ , onde $�$ é a constante universal dos gases e $�$ é a temperatura.

P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{rms}}{3V}}={\frac {nM\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,\right)^{2}}{3V}}

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Isolando $� �$ é fácil ver que a lei de um gás ideal é então:

P\cdot V=n\cdot R\cdot T\,\!

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde: $�$ é a pressão, $�$ é o volume, $�$ é o número de mols, $�$ é a constante universal dos gases perfeitos e $�$ a temperatura.^[1]

Transições de fase[editar | editar código-fonte]

As transições de fase dependem diretamente das forças intermoleculares (que são de natureza elétrica). A módulo da força de atração é o que determina em que fase a amostra se encontra. Na fase gasosa, as moléculas estão muito separadas e com uma energia cinética quadrática média muito alta, logo as forças de atração são fracas. Na fase líquida e sólida, diminuí-se o espaço entre as moléculas, logo tem-se um aumento das interações de atração, o que faz com que as moléculas se movam cada vez menos diminuindo sua energia cinética.

Segundo o teorema da equipartição da energia, a temperatura é proporcional à energia média de cada grau de liberdade, logo aumentando a temperatura (e mantendo a pressão constante), aumentamos a energia cinética da amostra, o que favorece o afastamento das moléculas. Esse aumento nos módulos das velocidades é similar a distribuição de Maxwell, logo conseguimos inferir sobre a evaporação através dessa distribuição.

Evaporação[editar | editar código-fonte]

Considere uma molécula que está com uma energia cinética maior do que a energia da tensão superficial do líquido ao qual faz parte. Nesse caso, ao chegar próximo a superfície do líquido, ela irá escapar e nesse caso, diminuir a energia cinética média do sistema, ou seja, o sistema irá perder temperatura em decorrência da evaporação. Pela distribuição de Maxwell, temos moléculas com velocidades de zero a infinito independentemente da temperatura do sistema, logo a evaporação sempre existirá. Contudo, se aumentarmos a energia cinética quadrática média, aumentaremos a probabilidade de encontrarmos moléculas com energia suficiente e a direção correta para escapar do líquido.^[2]

Transferência de calor[editar | editar código-fonte]

Um processo similar pode explicar a troca de calor entre dois corpos. Imagine um corpo A quente e um corpo B frio. Colocando as duas superfícies em contato, as moléculas da superfície de A colidirão com as moléculas da superfície de B, transmitindo energia, valendo a recíproca. Como a energia cinética quadrática média em A é maior, é plausível pensarmos que as moléculas de A cederão energia para as moléculas de B, e nesse processo A esfrie enquanto B aquece. O ar é um bom isolante térmico pois sendo um gás contém poucas moléculas em comparação com os outros estados físicos, logo a taxa de transferência de energia é menor (considerando um sistema sem convecção).

História[editar | editar código-fonte]

Em 1738, o físico e matemático holandês Daniel Bernoulli publicou Hydrodynamica que estabeleceu a base da teoria cinética dos gases. Em seu trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda utilizado nos dias de hoje, que afirma que a energia cinética das colisões moleculares dos gases (constituídos de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções), é a pressão do gás que sentimos, e o que experimentamos como o calor também é energia cinética do movimento molecular.

Em 1859, depois de ler um artigo sobre difusão das moléculas de Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell para velocidades moleculares, que mostra a proporção de moléculas com uma certa velocidade em um certo espaço. Esta foi a primeira utilização da estatística na física.^[3] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, um jovem estudante de Viena, utilizou os artigos de Maxwell como inspiração para desenvolver um tema adicional, durante sua vida.

Assim, os fundamentos da termodinâmica estatística foram estabelecidas no final de 1800 por aqueles que, como Maxwell, Boltzmann, Max Planck , Clausius, e Josiah Willard Gibbs , começaram a aplicar estatística na teoria quântica atômica para corpos de gases ideais. Predominantemente, no entanto, foram Maxwell e Boltzmann, trabalhando de forma independente, que chegaram a conclusões semelhantes quanto à natureza estatística dos corpos gasosos. No entanto, deve-se considerar Boltzmann como o "pai" da termodinâmica estatística com sua derivação em 1875 da relação entre entropia S e multiplicidade Ω, apresentando o número de arranjos microscópicos que produzem o mesmo estado macroscópico para um determinado sistema.^[4]

Ludwig Boltzmann então publicou em 1896 o artigo Lectures on Gas Theory.^[5] contendo mais de 2000 páginas interpretando termodinâmica estatística e os seguintes fatores H-teorema, teoria do transporte, equilíbrio térmico, e equação de estado dos gases. O termo "termodinâmica estatística" foi proposto para utilização na termodinâmica pelo físico e químico americano J. Willard Gibbs em 1902. Segundo Gibbs, o termo "estatística", i.e. mecânica estatística, foi usado pela primeira vez pelo físico escocês James Clerk Maxwell em 1871. "Mecânica probabilística" pode parecer um termo mais apropriado, mas hoje em dia, "mecânica estatística" está firmemente enraizada.^[6]

Introdução[editar | editar código-fonte]

O problema essencial na termodinâmica estatística é o de calcular a distribuição de uma dada quantidade de energia E em relação aos N sistemas.^[7] Enquanto que seu objetivo se foca em compreender e interpretar as propriedades macroscópicas dos materiais em termos das propriedades das suas partículas constituintes e das interações entre elas. Isso se dá através da ligação entre funções termodinâmicas e as equações da mecânica quântica. Três quantidades centrais em termodinâmica estatística são o teorema do limite central o fator de Boltzmann e a função de partição.

A definição mais importante de um sistema termodinâmico é a perspectiva da chamada interpretação estatística da entropia, que é definida como:

S=k_{B}\ln \Omega \!

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde k_B é constante de Boltzmann 1.38066×10⁻²³ J K⁻¹ e Ω é o número de microestados correspondentes à observação do macroestado.

Esta equação só é válida se cada microestado é igualmente acessível (cada microestado tem igual probabilidade de ocorrência).

Distribuição de Boltzmann[editar | editar código-fonte]

Se um sistema for grande podemos utilizar a distribuição de Boltzmann, que é um resultado aproximado dado por:

n_{i}\propto \exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right),\,

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde n_i representa o número de partículas ocupando um estado de energia i ou o número de microestados ocupando o macroestado i; U_i é a energia potencial do estado i; T é a temperatura; e k_B é a constante de Boltzmann.

Se N é o número total de partículas ou microestados, a função distribuição densidade de probabilidade segue:

\rho _{i}\equiv {\frac {n_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right)}{\sum _{j}\exp \left(-{\frac {U_{j}}{k_{B}T}}\right)}},

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

onde o denominador é a soma de todos os níveis.

Postulado fundamental[editar | editar código-fonte]

O postulado fundamental em termodinâmica estatística é o seguinte:

Dado um sistema isolado em equilíbrio, o sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer um de seus microestados acessíveis.

Este postulado é um pressuposto fundamental na mecânica estatística - afirma que um sistema em equilíbrio não tem qualquer preferência por qualquer um de seus microestados disponíveis. Dado Ω microestados com um certo nível de energia, a probabilidade de encontrar o sistema micro em particular é p = 1/Ω.

Este postulado é necessário porque permite concluir que, para um sistema em equilíbrio, o estado termodinâmico (macroestado), que pode resultar do maior número de microestados é também o macroestado mais provável do sistema.

O postulado é justificado em partes (para um sistema clássico) pelo Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)), visto que, se a distribuição dos pontos do sistema através do espaço fásico é uniforme em algum momento, ele permanecerá assim em momentos posteriores.

Isso permite a definição da função de informação (no contexto da teoria da informação):

I=-\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle -\ln \rho \rangle .

/ $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

Quando todas as probabilidades ρ_i são iguais, I é máximo, e nós possuímos o mínimo de informações sobre o sistema. Logo, em um sistema isolado em equilíbrio, a entropia é máxima (entropia pode ser considerada como uma medida da desordem: uma maior desordem, maior desinformação e, portanto, um valor inferior de I.

Esta função de informação é a mesma que a função entropia reduzida em termodinâmica..

Mark Srednicki argumentou que o postulado fundamental pode ser derivado, assumindo apenas que a conjectura de Berry (em homenagem a Michael Berry ) aplica-se ao sistema em questão.^[8]^[9] A conjectura de Berry é apenas para sistemas caóticos, e quando os autoestados tem sua energia distribuída como uma distribuição normal. Como todos os sistemas realistas tem um punhado de graus de liberdade então estes deverão ser caótico, o que converge para o postulado fundamental. A conjectura de Berry também tem sido demonstrada na teoria da informação pelo princípio do viés.^[10]

Ensembles canônicos[editar | editar código-fonte]

A formulação moderna desta teoria é baseada na descrição de um sistema físico ter um elenco de comum de estados representando todas as configurações possíveis e as probabilidades de ocorrência de cada uma das configurações.

Cada estado está associado a uma função de partição , por manipulações matemáticas, para que então se extraia os valores termodinâmicos do sistema. De acordo com a relação do sistema com o resto do universo, são normalmente identificados três tipos de estados, em ordem crescente de complexidade:

Ensemble microcanônico descreve um estado completamente isolado, que possui uma energia constante, não trocando energia ou partículas com o resto do Universo;
Ensemble canônico descreve um sistema em equilíbrio térmico que só pode trocar energia como a transferência de calor para o exterior;
Ensemble grande canônico descreve sistemas abertos que permitem a troca de partículas com o exterior.

Resumo dos ensembles	Ensembles
Resumo dos ensembles	Ensemble microcanônico	Ensemble canônico	Ensemble grande canônico
Constantes	E, N, V	T, N, V	T, μ, V
Características microscópicas	Número de microestados $\Omega$	Função de partição canônica $Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}$	Grande função de partição canônica $\Xi =\sum _{k}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{k})}$
Funções macroscópicas	$S=k_{B}\ln \Omega$	$F=-k_{B}T\ln Z$	$F-\mu N=-k_{B}T\ln \Xi$

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Introdução[editar | editar código-fonte]

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/ G* = = [ ] ω , , .=

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